Hukum cosinus

Sebuah segitiga sembarang
Hukum kosinus, atau disebut juga aturan kosinus, dalam trigonometri adalah aturan yang memberikan hubungan yang berlaku dalam suatu segitiga, yaitu antara panjang sisi-sisi segitiga dan kosinus dari salah satu sudut dalam segitiga tersebut.
Perhatikan gambar segitiga di kanan.
Aturan kosinus menyatakan bahwa

dengan adalah sudut yang dibentuk oleh sisi a dan sisi b, dan c adalah sisi yang berhadapan dengan sudut .
Aturan yang sama berlaku pula untuk sisi a dan b:


Dengan kata lain, bila panjang dua sisi sebuah segitiga dan sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut diketahui, maka kita dapat menentukan panjang sisi yang satunya. Sebaliknya, jika panjang dari tiga sisi diketahui, kita dapat menentukan besar sudut dalam segitiga tersebut. Dengan mengubah sedikit aturan kosinus tadi, kita peroleh:




Hukum Kosinus Pertama



Hukum Kosinus Kedua




Hubungan fungsi trigonometri




Penjumlahan






Rumus sudut rangkap dua



Rumus sudut rangkap tiga


Rumus setengah sudut



Sinus
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari

Sinus dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi miring (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi sinus di atas maka nilai sinus adalah

Nilai sinus positif di kuadran I dan II dan negatif di kuadran III dan IV.
Nilai sinus sudut istimewa









Hukum sinus
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari

Dalam trigonometri, hukum sinus ialah pernyataan tentang segitiga yang berubah-ubah di udara. Jika sisi segitiga ialah (kasus sederhana) a, b dan c dan sudut yang berhadapan bersisi (huruf besar) A, B and C, hukum sinus menyatakan

Rumus ini berguna menghitung sisi yang tersisa dari segitiga jika 2 sudut dan 1 sisinya diketahui, masalah umum dalam teknik triangulasi. Dapat juga digunakan saat 2 sisi dan 1 dari sudut yang tak dilampirkan diketahui; dalam kasus ini, rumus ini dapat memberikan 2 nilai penting untuk sudut yang dilampirkan. Saat ini terjadi, sering hanya 1 hasil akan menyebabkan seluruh sudut kurang daripada 180°; dalam kasus lain, ada 2 penyelesaian valid pada segitiga.
Timbal balik bilangan yang yang digambarkan dengan hukum sinus (yakni a/sin(A)) sama dengan diameter d . Kemudian hukum ini dapat dituliskan

Dapat ditunjukkan bahwa:

di mana
s merupakan semi-perimeter

Turunan

Buatlah segitiga dengan sisi a, b, dan c, dan sudut yang berlawanan A, B, dan C. Buatlah garis dari sudut C pada sisi lawannya c yang menonjol sekali dalam 2 segitiga siku-siku, dan sebut panjang garis ini h.
Dapat diamati bahwa:
and
Kemudian:

dan

Melakukan hal yang sama dengan garis yang digambarkan antara sudut A dan sisi a akan menghasilkan:

Triangulasi
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari


Triangulasi dapat digunakan untuk menentukan koordinat dan jarak dari pantai ke kapal. Pengamat di A mengukur sudut α antara pantai dan kapal, dan pengamat di B melakukan hal yang sama untuk β. Jika panjang l atau koordinat A dan B diketahui, maka hukum sinus dapat diterapkan dalam menentukan koordinat kapal di C dan jarak d.
Dalam trigonometri dan geometri dasar, triangulasi adalah proses mencari koordinat dan jarak sebuah titik dengan mengukur sudut antara titik tersebut dan dua titik referensi lainnya yang sudah diketahui posisi dan jarak antara keduanya. Koordinat dan jarak ditentukan dengan menggunakan hukum sinus.
Pada gambar di sebelah kanan, dapat dilihat bahwa sudut ketiga (sebut saja θ) diketahui sama dengan 180°-α-β, atau dapat dihitung sebagai perbedaan antara dua penentuan arah kompas yang diambil dari titik A dan B. Sisi l adalah sisi yang berlawanan dengan sudut θ dan sudah diketahui jaraknya. Dengan hukum sinus, rasio sin(θ)/l sama dengan rasio yang berlaku untuk sudut α dan β, sehingga panjang dari 2 sisi lainnya dapat dihitung dengan aljabar. Dengan menggunakan salah satu panjang sisi, sinus dan cosinus dapat digunakan untuk menghitung arah/kedudukan dari sumbu utara/selatan dan timur/barat dari titik pengamatan ke titik yang tidak diketahui tersebut, sehingga dapat memberikan koordinat akhir.
Beberapa identitas sering digunakan (hanya valid untuk geometri datar atau euklidean):
Jumlah sudut sebuah segitiga adalah π radian atau 180 derajad.
Hukum sinus
Hukum cosinus
Teorema Pythagoras
Triangulasi digunakan dalam banyak bidang, seperti pemetaan, navigasi, metrologi, astrometri, pembentukan citra pada binokular dan pembidikan senjata artileri.
Diperoleh dari "http://id.wikipedia.org/wiki/Triangulasi"


Kosinus
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari

Kosinus atau cosinus (simbol: cos) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang terletak di sudut dengan sisi miring (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o). Perhatikan segitiga di kanan. Berdasarkan definisi kosinus di atas maka nilai kosinus adalah

Nilai kosinus positif di kuadran I dan IV dan negatif di kuadran II dan III.
Nilai cosinus sudut istimewa









Hukum cosinus
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
(Dialihkan dari Hukum kosinus)
Langsung ke: navigasi, cari


Sebuah segitiga sembarang
Hukum kosinus, atau disebut juga aturan kosinus, dalam trigonometri adalah aturan yang memberikan hubungan yang berlaku dalam suatu segitiga, yaitu antara panjang sisi-sisi segitiga dan kosinus dari salah satu sudut dalam segitiga tersebut.
Perhatikan gambar segitiga di kanan.
Aturan kosinus menyatakan bahwa

dengan adalah sudut yang dibentuk oleh sisi a dan sisi b, dan c adalah sisi yang berhadapan dengan sudut .
Aturan yang sama berlaku pula untuk sisi a dan b:


Dengan kata lain, bila panjang dua sisi sebuah segitiga dan sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut diketahui, maka kita dapat menentukan panjang sisi yang satunya. Sebaliknya, jika panjang dari tiga sisi diketahui, kita dapat menentukan besar sudut dalam segitiga tersebut. Dengan mengubah sedikit aturan kosinus tadi, kita peroleh:




Hukum Kosinus Pertama



Hukum Kosinus Kedua




Tangen
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari

Tangen (bahasa Belanda: tangens; lambang tg, tan) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi segitiga yang terletak di sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi tangen di atas maka nilai tangen adalah

Nilai tangen positif di kuadran I dan III dan negatif di kuadran II dan IV.
[sunting] Hubungan Nilai Tangen dengan Nilai Sinus dan Cosinus


[sunting] Nilai Tangen Sudut Istimewa









Sekan
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari

Sekan (lambang: sec) dalam matematika adalah perbandingan sisi miring segitiga dengan sisi yang terletak pada sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi sekan di atas maka nilai sekan adalah

Hubungan sekan dengan kosinus:

Kosekan
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari

Kosekan (disimbolkan dengan cosec atau csc) dalam matematika adalah perbandingan sisi miring segitiga dengan sisi yang terletak di depan sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi kosekan di atas maka nilai kosekan adalah

Hubungan kosekan dengan sinus:

Kotangen
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari

Kotangen (lambang: cot, cotg, atau cotan) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang terletak pada sudut dengan sisi segitiga yang terletak di depan sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi kotangen di atas maka nilai kotangen adalah

Hubungan kotangen dengan tangen: